第22章 二次函数与反比例函数

第22章 二次函数与反比例函数

22.1二次函数

教学 目的：

使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。

重点难点：

二次函数的图象与性质都是由它的概念所决定的，因此二次函数的概念是本节教学中的重点

     待定系数法和解三元一次方程组是本节教学中的难点。

教学方法：讲授法。

教    具：纸板模型

教学过程：       

1、回顾旧知：（可请一 位学生口答）

       正比例函数--------------y =kx ( k≠ 0)

       反比例函数--------------y=  (k≠0)

       一次函数--------------- y=kx+b (k,b 是常数，且k≠0)

2、新课引入：

  (1)出示下列 函数让学生仔细观察：

            y=20x²+40x+20

            y= x² +3

            y=5x²+12x

            y=3x²

  (2)学生观察的同时，教师适时启发：

         ① 这几个函数是我 们已学过的三种函数吗？

         ②这些函数的自变量x的最高次数是多少？

         ③第1个函数的右边是二次三项式，请同学们说出二次项，一次项，常数项及二次 项系数，一次项系数，常数项。

         ④第2个函数的右边只有什么项？缺少什么项？请同学们补全。类似请同学们将（3）（4）补全。

         ⑤启发学生通过刚才观察归纳出上述函数的一般的形式：y=ax²+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0）。

3、点题：今天我们就来学习这类函数-------二次函数，教师板书并给出二次函数的概念：形如y=ax²+bx+c (a,b,c为常数，且a≠0)的函数叫二次函数。

4、巩固练习1：

              下列函数是否为二次函数， 若是，分别说出二次项系数，一次项系数及常数项a,b,c。

     (1)y=πx²        (2)y= 2x      　　 (3)y=1-3x²        (4)y=20x²+40x+20

     (5)y= 6x²+2x－1    (6)y= －x²+3x+2     (7)y=2x(x－3)     (8)y=x(x+1)－x²

     (9)y=ax²+2x+5 (a为实数) (10)y=(k²+1)x²+kx+2 (k为实数)

5、例题引入：运用模型直观演示正方形由于边长x变化产生正方形面积s的变化

    同时说明在此过程中x是自变量，而s是关于自变量x的函数。并将函数关系式表示出s=x²。请同学们判断s是x的什么函数。

6、例题讲解：

     例1   已知一隧道的截面如图，它的上部是半圆，下部是一个矩形，矩形的一条边长是2. 5m。设截面上部半圆的半径为r，隧道截面的面积为s。

（1）求s与r之间的函数关系式。

（2）求当r =2m时，隧道截面的面积（π取3.14，结果精确到0.1m²)

  分析：教师运用模型讲解时讲清以下几点：                            

       （1）  什么是自变量？什么是自变量的函数？

       （2）  矩形的另一条边长是半圆的直

7、巩固练习2：

     (1)已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中

一条直角边长为xcm。，则另一条直角边长为         ，若这个直角三角形的面积为s，则s关于x的函数关系式是     。

当x=5时，直角三角形的面积为          。

    （2）已知二次函数y=3x ²+2x+1。

        ①当x=0时，函数值y=        

        ②当x= －1时，函数值y=        

        ③当x=1时，函数值y=         

        ④当y=1时，x=            

        ⑤当y= －5时，x=             

        ⑥当y=－3时，x=            

8、例题讲解：

    例2：已知x的一个二次函数，在x=0时的值是1；

         在x=－1时的值是0；在x=1时的值是3。

         求这个二次函数。

 分析：讲解时注意以下几点：

      （1）用待 定系数法来求这个二次函数。

      （2）消元法解三元一次方程 组。

      （3）师生在完成例题后，同时强调：根据题意先设定二 

次函数y=ax²+bx+c关系式，其中a,b,c是待确定的常数，然后根据已知条件列出以a,b,c为未知数的方程组，求得a,b,c的值。从而得出函数关系式，这种求函数关系式的方法叫待定系数法。

9、学生课堂练 习：（ 指定一名学生板演，教师巡视检查）

     已知 二次函数y=ax²+c，当x=2时，y=4；当x=－1时，y=－3。

（1）求a,c的值；（2）求当y=0时，x的值。

10、课堂小结：

①二次函数的概念及二次函数解析式，强调二次项系数不为零。

②二次函数的表达式：完全形式，缺项形式。

③用待定系数法来求二 次函数解析式。

11、布置家庭作业及思考题：

   （1）教材P4习题 22.1第1、2、3、4、5、6题.

   （2）思考题

 ①函数y=ax²+bx+c一定是二次函数吗？

    ② 已知函数y=mx^m2+m+2 +7x+3是关于x的二次函数，试确定m的值。

    ③以前我们用描点法来探索正比例函数，反比例函数，一次函数的 图象与性质 。请同学们自已动手操作，画一画二次函数y=x²，与y=－x²的图象，并观察图象有何特点？

22.2二次函数y=ax²的图象和性质

 教学目标：

1.经历探索二次函数y=ax²的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2.能够利用描点法作出函数y=ax²的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax²的性质，初步建立二次函 数表达式与图象之间的联系。

3.能根据二次函数y=a x²的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）。

教学重点：二次函数y=ax²的图 象的作法和性质

教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系

教学方法：自主探索，数形结合

教学 建议：

利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表 达式之间的比较，建立图象和表达式之 间的联系 ，以达到学生对二次函数性质的真正理解。

教学过程：

一 、 认知准备：

1．正比例函数、一次函数、反比例函数 的图象分别是什么？

2．画函数图象的方法和步骤是什么？（学生口答）

   你会作二次函数y= 的图象吗？你想直观地了解它的性 质吗？本节课我们一起探索。

二 、 新授：

（一）动手实践：作二次函数  y=x²和y=-x²的图象

（同桌二人，南边作二次函数  y=x²的图 象，北边作二次函数y=-x²的图象，两名学生黑板完成）

y=x2

y

x

y=-x2

y

x

 

O

O

（二）对照黑板图象 议一议：(先由学生独立思考，再小组交流)

1 .你能描述该图象的形状吗？

2.该图象与x轴有公共点吗？如果有公共点坐标是什么？

3. 当x<0时，随着x的增大，y如何变化？当x>0时呢？ [来源:学#科#网]

4.当x取什么值时，y值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

5.该图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点。

（三）  学生交流：

1.交流上面的五个问 题（由问题1引出抛物线的概念，由问题2引出抛物线的顶点）

2.二次函数 y=x² 和y= -x²的图象有哪 些相同点和不同点？

3．教师出示同一直角坐标系中的 两个函数y=x²   和y=-x² 图象，根据图象回答：

y=x2

y=-x2

y

x

 

（1）二次函数 y=x²和y=-x² 的图象关于哪条直线对称？

（2）两个图象关于哪个点对称？

（3）由 y=x² 的图象如何得到 y=-x² 的图象？

（四） 动手做一做：

1．作出函数y=2x²   和  y= -2x²的图 象

y

y

（同桌二人，南边作二 次函数 y= -2 x²的图象，北边作二次函数y=2 x²的图象，两名学生黑板完成）

y=2 x2

x

x

y= -2 x2

 

O

O

2．对照黑板图象，数形结合，研讨性质：

（1）你能说出二次函数y=2 x²具有哪些性质吗？

（2）你能说出二次函数 y= -2 x²具有哪些性质吗？

（3）你能发现二次函数y=a x²的图象有什么性质吗？

（学生分小组活动，交流各自的发 现）

3．师生归纳 总结 二次函数y=a x²的图象及性质：

（1）二次函数y=a x²的图象是一条抛物线

（2）性质

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈 0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴　

d:最值 ：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧（X＜0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（x＞0），y随x的增大而减小。

4．应用：（1）说出二次函数y=1/3 x²    和  y= -5 x²  有哪些性质

（2）说出二次 函数y=4   x² 和  y= -1/4 x²有哪些相同点和不同点？

三、小结：

通过本节课学习，你有哪些收获？（学生小结）

1．会画二次函数y=a x²的图象， 知道它的图象是一条抛物线

2．知道二次函数y=a x²的性质：

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是（0，0）

c:对称轴是y轴

d:最值 ：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧(X＜0＝，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧(x＞0)，y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧(X＜0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧(x＞0)，y随x的增大而减小。

四、作业布置：

        教材P11练习及习题22.2 3、4、6.

22.3二次函数y＝ax ²＋bx＋c的图象和性质（第一课时）

教学目标： 　　

1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax²＋bx＋c的图象。　　

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。　　

3．让学生经历探索二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax²＋bx＋c 的性质。　　

重点难点：　　

重点：用描点法画出二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和通过配 方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。　 　

难点：理解二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)是教学的难点。　　

教学过程：　　

一、提出问题　　

    1．你能说出函数y＝－4(x－2 )²＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？　　

    (函数y＝－4(x－2)²＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。　　

    2．函数y＝－4(x－2)²＋1图象与函数y＝－4x²的图象有什么关系 ?　　

    (函数y＝－4(x－2)²＋1的图象 可以看成是将函数y＝－4x²的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)　　

    3．函数y＝－4(x－2)²＋1具有哪些性质?　　

    (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)　　

    4．不画出图象，你能直接说 出函数y＝－x²＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗?　　

    [因为y＝－x²＋2x－3＝－(x－1)² －2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]　　

    5．你能画出函数y＝－x²＋2x－3的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?　　

二、解决问题　　

    由以上第4个问题的解决，我 们已经知道函数y＝－x²＋2x－3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x²＋2x－3的图象，进而观察得到这个函数的性质。　　

    解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；　　

    (2) 描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。　　

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝－x²＋2x－3的图象，如图所示。　　

说明：(1)列表时，应根据对称 轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。　

    (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。　　

    让学生观察 函数图象，发表意见，互相补充， 得到这个函数韵性质；　　

    当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；　　

当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2　　

三、做一做　

    1．请 你按照上面的方法，画出函数y＝x²－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?　　

    教学要点　

    (1)在学生画函数图象的同时，教师 巡视、指导；　　

    (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。　　

    2．通过配方变形，说出函数y＝－2x²＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?　　

教学要点　　

    (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向 有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?　　

    以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?    　　

    教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；　　

y＝ax²＋bx＋c　

 ＝a(x²＋ x)＋c　　

    ＝a[x²＋ x＋ ( )²－( )²]＋c　　

    ＝a[x²＋ x＋( )²]＋c－（ ）　　

    ＝a(x＋ )²＋（ ）　　

    当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。　　

    对称轴是x＝ 　，顶点坐标是(－    ，    )　　

四、课堂练 习　　

课本练习第1、2、3、4题。　　

五、小结　　

通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？　　

六、布置作业　　

1．教材P27习题第2、3.　

2．选用课时作业优化设计。　　

课时作业优化设计

1．填空：　　

(1)抛物线y＝x²－2x＋2的顶点坐标是_______；　　

(2)抛物线y＝2x²－2x－的开口_______，对称轴是_______；　　

(3)抛物 线y＝－2x²－4x＋8的开口_______，顶点坐标是_______；　　

(4)抛物线y＝－x²＋2x＋4的对称轴是_______；　　

(5)二次函数y＝ax²＋4x＋a的最大值是3，则a＝_______．　　

2．画出函数y＝2x²－3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。　　

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。　　

(1)y＝3x²＋2x；         (2)y＝－x²－2x　　

(3)y＝－2x²＋8x－8      (4)y＝x²－4x＋3　　

4．求二次函数y＝mx²＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。

22.3二次函数y＝ax ²＋bx＋c的图象和性质（第二课时）

学习目标

1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。

2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。

教学过程

一、合作交流 例题精析

1、一般地，形如y＝ax²＋bx＋c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。

例1  已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。

小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

2、二次函数y＝ax²＋bx＋c用配方法可化成：y＝a(x＋h)²＋k，顶点是(－h，k)。配方: y＝ax²＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)²＋。对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，), h＝－，k=, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

例2  已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。

小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。

3、一般地，函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax²＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax²＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax²＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y＝a(x－x₁)(x－x₂)，其中x₁ ，x₂ 为两交点的横坐标。

例3  已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x₁=－3，x₂=1，且与y轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

想一想:还有其它方法吗?

二、应用迁移 巩固提高

1、根据下列条件求二次函数解析式

（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；

（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；

（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；

（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；

（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－ +3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；

（6）已知抛物线顶点坐标（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；

2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。

三、总结反思 突破重点

1、二次函数解析式常用的有三种形式：

（1）一般式：_______________  (a≠0)

（2）顶点式：_______________  (a≠0) 

（3）交点式：_______________  (a≠0)

2、本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax²＋bx＋c形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)²＋k形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x₁)(x－x₂)。

四、布置作业 拓展升华

1.教材习题22.3 第6、8、11题。

2.补充习题

（1）已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。

（2）已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。       

（3）已知二次函数y＝x²＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)，那么这个二次函数解析式是_______________。

（4）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。

（5）已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。

（6）已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。

（7） 已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。

（8）已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。

（9）在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。

①求点B的坐标。

②求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

③ 设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B₁，求ΔAB₁B的面积。

22.4  二次函数与一元二次方程

教学目标：

掌握二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的 交点个数与一元二次方程ax²+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：

二次函数y=ax²+bx+c的图象与一元二次方程ax²+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：

一、情境创设

一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标         

问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

问题2.猜想二次函数图象 与x轴 可能会有几个交点？可以借助什么来研究？

二、探索活动

活动一  观察

在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、 b、c 为系数绘制二次函数y=ax²+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、 c值后，观察交点数量变化情况。

活动二  观察与探索

如图1，观察二次函数y=x²-x-6的图象，回答问题: [来源:学|科|网]

(1)图象与x轴的交点的坐标为A (    ，   ),B(   ，    )

( 2)当x=          时，函数值y=0。

(3)求 方程x²-x-6= 0的解。

(4)方程x²-x-6=0的解和交点坐标有何关系？

活动三   猜想和归纳                                   

(1)你能说出函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax²+ bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax²+bx+c=0的根的个数由什么来判断？

这样我们可以把二次函数y=ax²+b x+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax²+bx+ c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析

例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)  y=x²-10x+25        (2) y=3x²-4x+2      (3) y=-2x²+3x- 1

例2.已知二次函数y=mx²+x-1

(1)当m为何值时，图 象与x轴有两个交点

(2 )当m为何值时，图象 与x轴 有一个交点？

(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？

四、拓展练习

1. 如图2，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B。

(1)请写出方程ax²+bx +c=0的根

(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4, 0)，且适合这个图象。

2. 列举一个二次函数，使其图象开口向上，

且与x轴交于(-2,0)和(1,0)

五、 小结

这节课我们有哪些收获？

六、作业

 求证：二次函数y= x²+ax+a-2的图象与x轴一 定有两个不同的交点。

22.5二次函数的应用

教学目标：

1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。

3、掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

4、培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。

教学重点：

1、  在直角坐标系中， 点坐标和线段之间的关系。

2、  根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。

教学难点：

如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。

课前准备：

制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。

教学过程：

一、创设情景 ，引入新课

1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？

2、由上给出引例：

引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米， 学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？[来源:学科网]

对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。今天我们 学习的内容是“二次函数的应用”。

二、新课讲解：

（一）课前练习

1、已知抛物线 上有一点的横坐标 为2，则该点的纵坐标为______。

2、已知二次函数 的函数图象上有一点的横坐标为 ，

则该点到x轴的距离是______________。

O

x

y

A

B

3、已知二次 函数 有一点的纵坐标是2，

则该点横坐标为__________.

4、已知抛物线过点A（0，1），B（2，1），C（1，0），  

则该抛物线解析式为___

5、已知如图A（1，1），AB=3，AB∥x轴，

则点A的坐标为__________.

注：第 四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。

O

O

x

y

x

y

1m

2.5m

4m

甲

乙

丙

丁

1m

1m

2.5m

4m

甲

乙

丙

丁

1m

1m

2.5m

4m

甲

乙

丙

丁

1m

1m

2.5m

4m

甲

乙

丙

丁

1m

O

x

y

O

x

y

（二）例题讲解

下 面我们来解决本堂课的引 例。

1、要解决这个实际问题，关键是什么？（建立直角坐标系）

2、那么有几种建立直角坐标系的方法呢？请同学们讨论一下。

  （学生分析、讨论完毕后教师进行归纳小结）

3、利用其中一种方法，解决①、②两个 。

①、求点A、B、C的坐标. ②、求过点A、B、C的抛物线的函数解析式.

4、同学们能否根据老师所用的方法，分别求出在上述四个图中第1、2两小题呢？

（教师巡视，学生分组合作交流）

5、展示学生的讨论的结果，并请每一组的代表说说本组方法的优劣。.

6、在完成第①、②小题的基础上，请同学们根据老师的方法完成第③、④小题。

③、你能算出丁的身高吗？

④、若现有一身高为1.625m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？

若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？若身高为1. 7m呢？

注：在解决第④小题的过程中，可以让学生思考以下问题：

①、     在解决第一问时，能否利用二次函数的对称性来解决？

②、     在解决第二问时，能否利用二次函数的有关性质来解决？（利用最值来解决）

小结：建立合适的直角坐标系，是解决实际问题的关键。

（教师利用多媒体出示解答过程，强调解题步骤。）

例：有一座抛物线形拱桥 ，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．

（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。

（2）求此抛物线的解析式；

F

E

（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

分析：1、建立直角坐标系是本题的关键，让学生分组讨论。

2、教师选择一种直角坐标系，解决本题。其他方法请学生课后练习。

3、第③小题是本解课的一个难点可以做以下处理

①、考虑货车能否安全通过的基本条件是什么？（水位还没有到达E点）

②、考虑水位到达E点所需时间和货车到达桥的时间的关系是什么？

③、要使货车安全通过此桥，先决条件是什么？

A

B

C

D

O

x

y

A

B

C

D

O

x

y

A

B

C

D

O

x

y

A

B

C

D

O

x

y

 

变式：（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km，货船以 40km／h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货船接 到通知时水位在AB处， 当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

（本题请学生阅读后，作为课后思考题）

三、课后练习：

1、如图是我县某公园一圆形喷水池的效果图，水流在各方向沿形状相同的抛物 线落下。建立如图坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析 式为                ___。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_____________米，才能使喷出的水流不致落到池外。

A

B

C

D

2、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱 笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

*(3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是 ？

四、课堂小结

通过这节课的学习，你学会了什么？你有什么体会？（学生小结）

教师小结：

1、本节课主要复习了已知横坐 标（或纵坐标），求纵坐标（或横坐标）的方法。

2、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法。

3、利用二次函数 解决实际问题时，建立适当的直角坐标系，是解决问题的关键。

五、布置作业

P39习题22.51、2、3、4、5、6、7.

六、课后反思

本节课是有关二次函数的复习课，重点是如何利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题。在本堂课的教学过程中有两个难点：1、如何将情景中的已知条件转化为直角坐标系中 有关点和线的问题。2、如何根据实际情景建立最有利于问题 解决的直角坐标系。为了解决上述两个问题，我做了 这样的处理：1、设置课前练习，分散难点。2、设置 分组讨论，让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立。3、将题目问题细化，降低题目难度。

上完本节课后我有以下几点体会：1、本节课作为初三复习课容量显得单薄了些。2、在讲课过程中学生配合较为默契，思维比较活跃。但有部分学生对于二次函数的应用题仍无从入手，如何做好这部分同学的教学工作是今后教学中值得探讨的。3、在选题时，为了力求和实际相结合，使得题 目的阅读量加大，造成部分学生对题目的理解有一定的困难。4、学生的书写格式有待进一步提高。5、对新形势、新课标下的中考，无法把握其在二次函数方向上的考法。总之，在今后的教学过程中还要多研究教材，多分析考试说明，多听老教师的课，多和同行探讨。这样才能使自己的教学水平有所提高。

22.6反比例函数

教学任 务分析